Topologia różniczkowa

Topologia różniczkowa (ang. differential topology) jest działem matematyki, który bada własności i struktury rozmaitości gładkich, czyli takich, które można opisać w lokalnych układach współrzędnych przy użyciu funkcji różniczkowalnych. Łączy ona techniki topologii oraz analizy, skupiając się na zagadnieniach, które są niewrażliwe na drobne deformacje, ale jednocześnie zależą od struktury różniczkowej.

Podstawowe pojęcia

Rozmaitość gładka – rozmaitość wyposażona w klasę maksymalną C^∞ atlasy przejść (tzw. strukturę gładką). Przykładem jest sfera S^n czy torus T^2.
Dyferomorfizm – bijekcja pomiędzy dwoma rozmaitościami gładkimi, której zarówno ona, jak i jej odwrotność są klasy C^∞. Symbolicznie: f: M → N, gdzie f i f⁻¹ są różniczkowalne.
Przestrzeń styczna – w punkcie p rozmaitości M jest to wektorowa przestrzeń T_pM opisująca wszystkie możliwe “kierunki” przejść przez p.
Osadzanie – gładkie odwzorowanie f: M → N, które jest homeomorfizmem na swój obraz i przy czym różniczka df w każdym punkcie ma maksymalny rząd.

Główne wyniki

W topologii różniczkowej istnieje szereg fundamentalnych twierdzeń, które określają różnice pomiędzy strukturami topologicznymi a różniczkowymi.

Twierdzenie o punkcie stałym Brouwer'a

Każda ciągła funkcja f: D^n → D^n (gdzie D^n jest n‑wymiarową kulą) ma przynajmniej jeden punkt stały. W wersji różniczkowej mówi się o istnieniu punktu stałego dla dowolnej homeomorfizmu przy zachowaniu struktury gładkiej.

Twierdzenie h‑kobordyzmu

Jeśli dwie zwarto‑gładkie rozmaitości (n+1)-wymiarowe M i N są h‑kobordyzem, a n ≥ 5, to M i N są dyferomorficznie równoważne. To twierdzenie jest kluczowe w klasyfikacji wysokowymiarowych rozmaitości.

Klasyfikacja rozmaitości dwuwymiarowych

Wymiar 2 jest jedynym, w którym topologia różniczkowa i topologia ogólna pokrywają się. Każda rozmaitość gładka 2‑wymiarowa jest określona wyłącznie przez swoją topologię (klasyfikacja powierzchni).

Zastosowania

Topologia różniczkowa znajduje zastosowanie w wielu dziedzinach:

Fizyka teoretyczna – teoria pól, ogólna teoria względności oraz mechanika klasyczna wykorzystują pojęcia rozmaitości i ich struktury różniczkowe.
Teoria dynamiki – badania układów dynamicznych często operują na rozmaitościach fazowych i ich strumieniach.
Geometria różniczkowa – pojęcia krzywizny, połączeń i tensorów są naturalnie definiowane na rozmaitościach gładkich.
Teoria Morse'a – łączy topologię różniczkową ze homotopią, analizując krytyczne punkty funkcji gładkich i ich wpływ na strukturę rozmaitości.

Powiązane działy

Bibliografia

Milnor, J. – Topology from the Differentiable Viewpoint. Princeton University Press, 1997.
Guillemin, V., & Pollack, A. – Differential Topology. Prentice Hall, 1974.
Hirsch, M. – Differential Topology. Springer, 1976.
Wallace, A. – Algebraic Topology: A First Course. Cambridge University Press, 1979.